Persamaan Eksponen

Apakah yang dimaksud dengan persamaan eksponen ?

Persamaan eksponen adalah persamaan yang  eksponennya ( pangkatnya) mengandung variable ( peubah) x dan bisa jadi bilangan pokoknya juga mengandung peubah x

Di bawah ini ada berbagai  bentuk persamaan eksponen :

Bentuk  a^f(x) = a^p

a>0 dan a ≠1, maka f(x) = p

Contoh :
3^2x-1 = 3
2x – 1 = 1
2x=1 + 1
2x= 2
X= 1

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {1}2^2x-7 = 8

2^2x-7 = 2³

2x - 7 = 3

2x = 3 + 7

2x = 10

X = 5

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {5}

Bentuk a^f(x) = a^g(x)

a>0, a≠1 , maka f(x) = g(x)

Contoh :
9^3x-1 = 27^x+4

{(3)²}^3x-1 = {(3³)}^x+4

3^2(3x-1) = 3^3(x+4)

2(3x - 1) = 3(x + 4)

6x – 2 = 3x + 12

6x – 3x = 12 + 2

3x = 14

X = 14/3

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {14/3}

a^2x+5 = a^4x-7

2x + 5 = 4x – 7

7 + 5 = 4x – 2x

12 = 2x

2x = 12

X = 6

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {6}

Bentuk a^f(x) = b^f(x)

a>0 dan a≠1 , b>0 dan b≠1, dan a≠b, maka f(x) =0

Contoh :
3^3x-12 = 5^3x-12

3x – 12 = 0

3x = 12

x = 4

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {4}

Bentuk {h(x)}^f(x) = {h(x)}^g(x)

Penyelesaian persamaan eksponen bentuk di atas ada beberapa kemungkinan jawaban :

1). f(x) = g(x)
2). h(x) = 1
3). h(x) = 0, dengan syarat f(x) dan g(x) bernilai positif
4). h(x) = -1, dengan syarat f(x) dan h(x) keduanya ganjil atau keduanya genap

Contoh :

(5x - 2)^2x+1 = (5x  - 2)^x-5

Penyelesaian :

Persamaan (5x - 2)^2x+1 = (5x  - 2)^x-5 merupakan persamaan eksponen bentuk {h(x)}^f(x) = {h(x)}^g(x) , dengan

h(x) = 5x - 2

f(x) = 2x + 1

g(x) =x - 5

Himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen di atas dapat diselesaikan dengan berbagai kemungkinan yaitu :

Ø  f(x) = g(x)

2x + 1 = x - 5

2x – x = -5 - 1

x = -6

Ø  h(x) = 1

5x - 2 = 1

5x = 1 + 2

5x = 3

x = 3/5

Ø  h(x) = 0

5x – 2 = 0

5x = 2

x = 2/5

Pengujian syarat apakah x = 2/5 memberikan nilai f(x) dan g(x) bernilai positif ?

f(x)=2x + 1

f(2/5) = 2(2/5) + 2  > 0, bernilai positive

g(x)=x - 5

f(2/5) = 2/5 - 5 < 0, bernilai negative

Jadi x = 2/5  bukan  penyelesaian.

  

Ø  h(x) = -1

5x - 2 = -1

5x =2 – 1

5x = 1

x = 1/5

Pengujian syarat apakah x = 1/5  memberikan nilai f(x) dan g(x) keduanya ganjil atau keduanya genap ?

f(x)=2x + 1

f(1/5) = 2(1/5) + 2  = 2,4 ≈ 2 genap positive

g(x)=x - 5

f(1/5) = 1/5 - 5 = -4,6≈ - 5 ganjil negatif

Jadi x = 1/5  bukan  penyelesaian.

Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen (5x - 2)^2x+1 = (5x  - 2)^x-5 adalah {-6, 3/5 }

Bentuk   A{a^f(x)}² + B{b^f(x)} + C = 0

a>0  dan  a≠1,  A, B, C bilangan real dan A≠0

Persamaan eksponen bentuk di atas dapat diselesaikan dengan cara merubah menjadi persamaan kuadrat. Dengan pemisalan a^f(x) = y maka didapat persamaan kuadrat 

A y² + B y + C = 0.

Contoh :

    4. 3^x+1 – 9^x - 27 = 0

4.3¹.3^x – 3^2x - 27 = 0

-(3^x)² + 12.3^x - 27 = 0

Misal : 3^x = y

-y² + 12y - 27 =0

y² – 12y + 27 = 0

(y – 3)(y - 9) =0

y -3 = 0

y = 3

y - 9 = 0

y = 9

3^x = 3

x = 1

3^x = 9

3^x = 3²

x = 2

Jadi persamaan eksponen 4. 3^x+1 – 9^x - 27 = 0 , himpunan penyelesaiannya adalah {1,2}